نص التمرين
حيث A بسط التعبير
$ A = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}} $
حل التمرين
يكفي لحل هذا التمرين أن نلاحظ أن الجذر المربع الداخلي الأخير يمكن حسابه ، لأن 1 مربع كامل (1=1²) و بالتالي
$ \sqrt{1} = 1 $
هذه الملاحظة تقودنا إلى التبسيطات المتوالية التالية
( 2²=4) $ \sqrt{3+\sqrt{1}} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $
( 3²=9) $ \sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3 $
( 4²=16) $ \sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}} = \sqrt{13+3}= \sqrt{16}=4 $
( 5²=25) $\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}= 5 $
$\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}} = \sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3 $
$\sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}} } = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $
و منه ، نستنتج أن
$ \sqrt{1} = 1 $
هذه الملاحظة تقودنا إلى التبسيطات المتوالية التالية
( 2²=4) $ \sqrt{3+\sqrt{1}} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $
( 3²=9) $ \sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3 $
( 4²=16) $ \sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}} = \sqrt{13+3}= \sqrt{16}=4 $
( 5²=25) $\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}= 5 $
$\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}} = \sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3 $
$\sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}} } = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $
و منه ، نستنتج أن
$A=2$
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire
Remarque : Seul un membre de ce blog est autorisé à enregistrer un commentaire.