تمرين حول الجذور المربعة - 3 ثانوي إعدادي

نص التمرين

بسط المجموع التالي
$ S = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}+ \sqrt{99}}$

الحل

:  (يمكن أن نكتب (تقنية الضرب في مرافق المقام لإزالة الجذر المربع من المقام

$ \left\{\begin{array}{lr}\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3}\\ ....\\ .... \\ \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}} = \frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{(\sqrt{99}+\sqrt{98})(\sqrt{99}-\sqrt{98})}= \frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{99-98} = \sqrt{99} - \sqrt{98}} \\\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} = \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})(\sqrt{100}-\sqrt{99})}= \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = \sqrt{100} - \sqrt{99}} \end{array}\right $

و بالتالي ، بجمع المتساويات السابقة طرفا لطرف ، نحصل على

$ S =(\underline{\sqrt{2}} - 1) + (\underline{\sqrt{3} - \sqrt{2}}) + (\underline{\sqrt{4} - \sqrt{3}}) + \cdots + (\underline{\sqrt{99} - \sqrt{98}} ) + ( \sqrt{100} - \underline{\sqrt{99}}) $

و منه ، بشطب الأعداد المتقابلة ، نحصل على 

$ S = \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9 $

    وجدنا في الأخير أنه عدد صحيح طبيعي ، S لاحظ أنه رغم شكل المجموع